Polynomdivisjon I

Mål for opplæringa er at eleven skal kunne

• formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
• forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar

Numerisk heltallsfaktorisering av polynom

Vi starter med å se hvordan vi kan bruke programmering til å numerisk finne heltallsfaktorer av et polynom. For å gjøre dette må vi først vite hva som kjennetegner en faktor i et polynom.

Oppgave 1

a) Hvordan kan vi vite at polynomet $P(x) = x^3 + 3x^2 - x - 3$ er delelig med $(x+3)$ uten å gjennomføre en polynomdivisjon?

b) Finn alle faktorene til $P(x)$ ved hjelp av polynomdivisjon

Vi skal nå lage et program som kan finne alle heltallsfaktorene til et polynom. For å gjøre dette trenger vi å bruke metoden fra oppgaven over, nemlig at hvis $P(a) = 0$, så er $(x-a)$ en faktor til $P(x)$.

Oppgave 2

Diskuter med sidemannen hvordan vi kan bruke dette til å finne alle heltallsfaktorene til en gitt polynom

Første del av programmet

Koden vår trenger å vite polynomet vi ønsker å finne faktorene til. Deretter må vi gå gjennom et passe antall verdier og sjekke om det er faktorer. I skjelettprogrammet under har vi valgt å sjekke heltallsfaktorer i intervallet $[-10, 10]$. Merk at koden under ikke vil kjøre, se oppgave 3

Oppgave 3

Diskuter med makkeren din hva som skal stå istedenfor ??? både i linje 6 og linje 7.

Løsning:

def P(x):
    y = x**3 + 3*x**2 - x - 3     # Polynomet vi ønsker å finne faktorene til
    return y

for i in range(-10, 11):
    if P(i) == 0:
        print("En faktor er x -",i)

Oppgave 4

Test programmet flere ganger for andre polynomer fra for eksempel læreboken. Er det noen ganger programmet ikke fungerer? I så tilfelle, hvorfor ikke?

Pynting av programmet

Det er litt uheldig at vi for negative faktorer får dobbelt subtraksjonstegn.

Oppgave 5 (frivillig)

Hvordan kan vi endre programmet slik at vi alltid får et svar på formen $(x+1)$ eller $(x-1)$?

Løsning:

def P(x):
    y = x**3 + 3*x**2 - x - 3     # Polynomet vi ønsker å finne faktorene til
    return y

for i in range(-10, 11):
    if P(i) == 0:
        if i < 0:
            print("En faktor er x +",abs(i))
        elif i == 0:
            print("En faktor er x")
        else:
            print("En faktor er x -",i)

Oppgave 6

Diskuter med makkeren din hva vi kan gjøre hvis det ikke er noen heltallige faktorer til polynomet. Kan dere tenke en metode vi kan sjekke for disse faktorene på?

Hvis man ønsker å gå videre og løse dette, gå til neste opplegg kalt Polynomdivison II.